微分方程小手册

### 微分方程框架  ### 一阶微分方程 #### 可分离变量型 形如：${\rm{y}}' = f(x) \cdot g(y)$，有： $$ {\rm{y}}' = f(x) \cdot g(y) \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f(x) \cdot g(y) \Rightarrow f(x) \Rightarrow \frac{{dy}}{{g(y)}} = f(x)dx \Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{g(y)}}} = \int {f(x)dx} $$ 进一步的，可通过换元得到以上形式的，也可以对其分离变量，如： $$ {\rm{y}}' = f(ax + by + c) \Rightarrow u{\rm{ = }}ax + by + c \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f(u) \Rightarrow \frac{{du}}{{dx}} = a + bf(u) \Rightarrow \frac{{du}}{{a + bf(u)}} = dx \Rightarrow \int {\frac{{du}}{{a + bf(u)}}} = \int {dx} $$ #### 齐次型 形如$y'=f(\frac{y}{x})$或$\frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})$，按照上述方法换元转换为分离变量型，以$y'=f(\frac{y}{x})$为例，令$u=\frac{y}{x}$，有： $$ y = ux \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = x\frac{{du}}{{dx}} + u \Rightarrow y' = \frac{{dy}}{{dx}} = f(u) = x\frac{{du}}{{dx}} + u \Rightarrow \int {\frac{1}{{f(u) - u}}du = \int {\frac{{dx}}{x}} } $$ #### 一阶线性型 形如：$y'+p(x)y=q(x)$，使用以下公式计算（由于是应试，推导步骤略）： $$ y = {e^{ - \int p (x)dx}}\left[ {{{\int e }^{\int p (x)dx}} \cdot q(x)dx + C} \right] $$ 上式为一阶线性微分方程的通解公式，其中，式中的${\int p (x)dx}$为$p(x)$的某一个原函数。 注：上述公式中若$\int p (x)dx = \ln \left| {\varphi (y)} \right|$，该绝对值在上述公式中最后可以去掉，产生的$±$可以合并到常数$C$中得到常数$D$。 ### 二阶微分方程（可降阶） **形如：$y''=f(x,y')$，即缺$y$型，令$y'=p,y''=p'$，有：** $$ y'' = \frac{{dp}}{{dx}} = f(x,y') = f(x,p) $$ 由上式降阶为一阶微分方程，按一阶微分方程方法求解得到$p=y'=\varphi(x,C_1)$，则可求得原微分方程通解： $$ y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2 $$ **形如：$y''=f(y,y')$，即缺$x$型，令$y'=p,y''=p'=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot p$，有：** $$ y''=\frac{dp}{dy} \cdot p=f(y,p) $$ 由上式降阶为一阶微分方程，按一阶微分方程方法求解得到$p=y'=\varphi(y,C_1)$，分离变量后积分即可求得原微分方程的通解： $$ \frac{{dy}}{{\varphi (y,{C_1})}} = dx \Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{\varphi (y,{C_1})}}} = \int {dx} = x + {C_2} $$ ### 高阶常系数线性微分方程* **对于形式为：$y''+py'+qy=f(x)$，$y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)$求解步骤如下：** 1. 写出方程$\lambda^2+p\lambda+q=0$，解出$\lambda_1,\lambda_2$或共轭复根； 2. 根据以下类型，写出齐次线性微分方程的**通解**： $$ y = \begin{cases} C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}, & p^2 - 4q > 0 \quad (\text{roots: } \lambda_1 \neq \lambda_2) \\ (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}, & p^2 - 4q = 0 \quad (\text{roots: } \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda) \\ e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x), & p^2 - 4q

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